Convergenza puntuale ed uniforme della serie (∑_(n=0)^(+∞))(1-Log(x))((Log(x))^n) e calcolarne la somma. C’è convergenza puntuale per |Log(x)|<1 cioè (e^(-1))<x<e. Verifichiamo se “succede” qualcosa agli estremi che ci garantisce la convergenza: per x=(e^(-1)) è 2·(∑_(n=0)^(+∞))(((-1))^n) che non converge. Per x=e è  (∑_(n=0)^(+∞))0·((Log(x))^n)=0. C’è convergenza puntuale per (e^(-1))<x≤e. Se x=1, Log(x)=0, quindi ((Log(x))^n)=0 se n≥1, mentre ((Log(x))^0)=1. Per cui (∑_(n=0)^(+∞))(1-Log(1))((Log(1))^n)=1. Per gli altri valori di x, (∑_(n=0)^(+∞))((Log(x))^n)=(1/(1-Log(x))) (serie geometrica) quindi (∑_(n=0)^(+∞))(1-Log(x))((Log(x))^n)=1 per ogni (e^(-1))<x<e, (∑_(n=0)^(+∞))(1-Log(e))((Log(e))^n)=0. Questa è la convergenza puntuale. Quella uniforme non c’è su ((e^(-1)),e], ma su [(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])] per ogni (e^(-1))<(Subscript[c, 1])<(Subscript[c, 2])<e.

Manipulate[Show[Plot[{1,1-((Log[x])^(n+1))},{x,(E^(-1)),E},PlotStyle->{{Orange,Thick},{Purple,Thick}},ImageSize->500,PlotRange->{{0,E+(E^(-1))},{0,4}}],ListPlot[{{E,0}},PlotStyle->{Orange,PointSize[0.02]}]],{n,0,30}]

Convergenza puntuale e uniforme della serie (∑_(n=0)^(+∞))(e^(n (x^2)-(n^2)x)). Se x<0 la serie diverge (esponenti positivi). Se x>0 la serie converge (“converge almeno come la serie (e^(-n))”). Per x=0 la serie diverge. Quindi si ha convergenza puntuale per ogni x>0. E’ uniforme su (0,+∞)? No. Non è uniforme vicino a 0 e ad ∞. E’ uniforme su ogni [m,M] con 0<m<M<+∞.

Manipulate[Show[Plot[ Sum[Exp[i (x^2)-(i^2) x],{i,0,n}],{x,0,10},PlotStyle->{Purple,Thick},PlotPoints->60],Plot[ Sum[Exp[i (x^2)-(i^2) x],{i,0,60}],{x,0,10},PlotStyle->{Orange,Thick}],PlotRange->{{0,1},{0,10}},AxesOrigin->Automatic,ImageSize->500],{n,0,30}]

Convergenza uniforme di (((1+(x/n)))^n) ad (e^x) per ogni x∈ℝ. La convergenza puntuale è un fatto risaputo. Non si ha convergenza uniforme su tutto ℝ ma su ogni [m,M] con 0<m<M<+∞.

Manipulate[Show[Plot[ (((1+(x/i)))^i),{x,-10,10},PlotStyle->{Purple,Thick},PlotPoints->60],Plot[Exp[x],{x,-10,10},PlotStyle->{Orange,Thick}],PlotRange->{{-10,10},{-2,10}},AxesOrigin->Automatic,ImageSize->800],{i,1,30}]

Convergenza puntuale e uniforme della successione (Subscript[f, n])(x)=((1+(x^n))/(n+(x^(2n)))). (Subscript[f, n])(x)→f(x)≡0 per ogni x∈ℝ. E la convergenza è uniforme: |(Subscript[f, n])(x)-f(x)|=|(Subscript[f, n])(x)|≤ (1/n)+(1/(2(Sqrt[n]))) per ogni x∈ℝ ed n∈ℕ, quindi la convergenza uniforme discende subito.

Manipulate[Plot[{0, ((1+(x^i))/(i+(x^(2 i))))},{x,-10,10},PlotStyle->{{Orange,Thick},{Purple,Thick}},PlotRange->{{-10,10},{-2,10}},AxesOrigin->Automatic,ImageSize->500],{i,0,30}]

Convergenza puntuale e uniforme della successione (Subscript[f, n])(x)=(1/n) Log[1+(e^nx)]. (Subscript[f, n])(x)→f(x) per ogni x∈ℝ, dove f(x)=0 se x≤0 mentre f(x)=x per x>0. La funzione f è continua (anche in 0). E la convergenza è uniforme: |(Subscript[f, n])(x)-f(x)|=|(Subscript[f, n])(x)|≤ ((Log(2))/n) per ogni x≤0 ed n∈ℕ, c’è convergenza uniforme su (-∞,0]. Consideriamo [0,+∞) (possiamo prendere lo 0, la f è continua in 0 e (Subscript[f, n])(0)=0 per ogni n). |(Subscript[f, n])(x)-f(x)|=|x-(1/n) Log[1+(e^nx)]|≤ ((Log(2))/n) anche in questo caso (più lungo da mostrare) per cui c’è convergenza uniforme in [0,+∞). Quindi c’è convergenza uniforme su tutto ℝ.

Manipulate[Show[Plot[ (1/i) Log[1+Exp[i x]],{x,-10,10},PlotStyle->{Purple,Thick},PlotPoints->60],Plot[ x,{x,0,10},PlotStyle->{Orange,Thick}],Plot[ 0,{x,-10,0},PlotStyle->{Orange,Thick}],PlotRange->{{-10,10},{0,10}},AxesOrigin->Automatic,ImageSize->500],{i,1,30}]